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Erdos-Falconer Distance Conjecture and Related Topics

English title Erdos-Falconer Distance Conjecture and Related Topics
Applicant Pham Van Thang
Number 191067
Funding scheme Return CH Postdoc.Mobility
Research institution Departement Informatik ETH Zürich
Institution of higher education ETH Zurich - ETHZ
Main discipline Mathematics
Start/End 01.09.2020 - 31.08.2021
Approved amount 112'056.00
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Keywords (5)

Distance problems; Incidence geometry; Falconer ; extension theorems; Finite fields

Lay Summary (French)

Lead
Le problème classique des distances distinctes d'Erdos demande pour le nombre minimal de distances distinctes déterminés par un ensemble de n points dans le plan. En 1946, Erdos a montré que le nombre de distances distinctes déterminés par n points dans le plan est au moins n^{1/2}. Basé sur le fait que le réseau entier de \sqrt{n}\times \sqrt{n} détermine grossièrement n/\sqrt{log n} distances distinctes, il conjecturé le fait que tout ensemble de n points dans le plan détermine au moins n/\sqrt{log n} distances distinctes. Il y avait de nombreuses améliorations sur la borne inférieure pendant plus de 64 ans, et en 2010, Guth et Katz, ont prouvé la conjecture d'Erdos, en utilisant des méthodes algébriques. Plus précisément, ils ont prouvé que chaque ensemble de n points dans R^2 determine au moins cn / log n distances distinctes. Ce résultat a donné naissance à beaucoup d'extensions et analogues dans des corps arbitraires, au cours des dernières années.
Lay summary
Dans ce projet de recherche, je me concentrerai sur deux sujets: la conjecture de distance Erdos-Falconer et les théorèmes d'extension / restriction sur des champs finis. Ces sujets se situent à l'intersection de la géométrie discrète et de la théorie des nombres. J'ai l'intention d'étudier ces sujets en utilisant des méthodes algébriques, des méthodes d'analyse de Fourier, des méthodes probabilistes, des outils de la théorie des nombres additifs et des machines d'incidence.
Direct link to Lay Summary Last update: 09.06.2020

Responsible applicant and co-applicants

Employees

Publications

Publication
An asymmetric bound for sum of distance sets
PhamVan Thang (2021), An asymmetric bound for sum of distance sets, in Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 314, 290-300.
Extension theorems and a connection to the Erd os-Falconer distance problem over finite fields
PhamVan Thang (2021), Extension theorems and a connection to the Erd os-Falconer distance problem over finite fields, in Journal of Functional Analysis, 281(8), 109137.
Mattila–Sjolin type functions: A finite field model
PhamVan Thang, Mattila–Sjolin type functions: A finite field model, in Vietnam Journal of Mathematics, 00.
On the Finite Field Cone Restriction Conjecture in Four Dimensions and Applications in Incidence Geometry
PhamVan Thang, On the Finite Field Cone Restriction Conjecture in Four Dimensions and Applications in Incidence Geometry, in International Mathematics Research Notices, 00.
On the Mattila-Sjolin distance theorem for product sets
PhamVan Thang, On the Mattila-Sjolin distance theorem for product sets, in Mathematika, 00.
On the pinned distances problem over finite fields
PhamVan Thang, On the pinned distances problem over finite fields, in Journal of London Mathematical Society, 00.

Associated projects

Number Title Start Funding scheme
183916 Erdos Distinct Distances Problem and Related Topics 01.03.2019 Postdoc.Mobility

Abstract

In this research project, the PI will focus on two topics: Erdos-Falconer distance conjecture and Extension/Restriction theorems over finite fields. These topics lie on the intersection of Discrete Geometry and Number Theory. The PI plans to study these topics by employing algebraic methods, Fourier analysis methods, probabilistic methods, tools from additive number theory, and incidence machinery.
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