Lead
Die effiziente und detailtreue Computersimulation von Wellenphänomenen ist zentral bei vielen Anwendungen wie z.B. der medizinischen Bildgebung, der Seismik, dem Mobilfunk oder auch der zerstörungsfreien Materialprüfung. Ziel dieses Projekts ist es, einerseits eine rigorose Konvergenztheorie für explizite lokale Zeitschritte zu etablieren und andererseits deren Nutzen sowohl für Simulationen bei Unsicherheiten in der Wellengeschwindigkeit als auch für zeitharmonische Simulationen zu demonstrieren.

Lay summary
Die effiziente und detailtreue Computersimulation von Wellenphänomenen ist zentral bei vielen Anwendungen wie z.B. der medizinischen Bildgebung, 
der Seismik, dem Mobilfunk oder auch der zerstörungsfreien Materialprüfung. 
 
Numerische Verfahren zur Simulation von Wellenphänomenen basieren auf einer Raum- und Zeitdiskretisierung der Wellengleichung. 
Für die räumliche Diskretisierung sind finite Elemente Verfahren bestens geeignet, besonders weil sie auch in beliebig komplizierten
Geometrien einsetzbar sind. Für die zeitliche Diskretisierung sind explizite Zeitschrittverfahren besonders effizient
und lassen sich auch gut auf parallelen Hochleistungsrechnern einsetzen. Dabei benutzen Standardverfahren den gleichen Zeitschritt
im gesamten Rechengebiet, der wegen der CFL Stabilitätsbedingung durch die kleinste Maschenweite bestimmt ist. 
Dies ist bei lokal verfeinerten Gittern höchst ineffizient. Um diese CFL Stabilitätsschranke zu umgehen, wurden in den letzten Jahren
verschiedene lokale Zeitschrittverfahren (Local Time Stepping = LTS) entwickelt, die in den kleineren Elementen kleinere Zeitschritte 
und in den grösseren Elementen grössere Zeitschritte erlauben. Auch wenn lokale Zeitschrittverfahren sich in der Praxis schon bewährt 
haben, gibt es bisher noch keine allgemeine Konvergenztheorie. 

Bei der Zeitintegration der Wellengleichung unterscheidet man i.A. zwei Klassen von expliziten Zeitschrittverfahren: Leap-Frog (LF) Verfahren,
die auf der klassischen Formulierung 2. Ordnung basieren, und Runge-Kutta (RK) Verfahren, die auf der Umformulierung als System 1. Ordnung basieren. 
Für LF Verfahren konnten wir 2019 zum ersten Mal optimale Konvergenzraten für ein auf LF basierendes LTS Verfahren beweisen, jedoch 
nicht unter einer optimalen (CFL) Stabilitätsschranke. Es geht nun darum, das LTS-LF Verfahren leicht zu modifizieren, damit optimale Konvergenzraten auch 
unter einer optimalen CFL Bedingung bewiesen werden können. Ausserdem möchten wir versuchen, diese Konvergenztheorie auch auf RK basierende LTS Verfahren zu erweitern. 

Ziel dieses Projekts ist es deshalb, einerseits eine rigorose Konvergenztheorie für explizite lokale Zeitschritte zu etablieren
und andererseits deren Nutzen sowohl für Simulationen bei Unsicherheiten in der Wellengeschwindigkeit als auch 
für zeitharmonische Simulationen zu demonstrieren.