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Local monodromy of Drinfeld modules

Applicant Mornev Maxim
Number 202119
Funding scheme Ambizione
Research institution Institut de mathématiques EPFL - SB - MATH
Institution of higher education EPF Lausanne - EPFL
Main discipline Mathematics
Start/End 01.10.2021 - 30.09.2025
Approved amount 531'544.00
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Keywords (4)

Shtukas; Drinfeld modules; Galois representations; Isocrystals

Lay Summary (French)

Lead
La théorie de la monodromie est une partie des mathématiques qui donne un moyen d'étudier la géométrie à travers des équations différentielles, et vice versa. Certains cas de cette théorie, comme la monodromie l-adique des variétés abéliennes, sont bien compris. Cependant, pour le moment, aucune théorie de la monodromie n'existe pour les modules de Drinfeld, une classe importante d'objets en géométrie arithmétique. Même si ces modules sont considérés comme une simplification des variétés abéliennes, leur monodromie locale apparaît étonnamment compliquée et chaotique.
Lay summary
Contenu et objectifs du travail de recherche

Nous allons développer une théorie complète de la monodromie locale pour les modules de Drinfeld. A sa base se trouve un théorème de monodromie z-adique qui complète les travaux classiques de Grothendieck et Deligne. Sur ce, nous allons développer des outils pour l'étude des modules de Drinfeld parallèles aux outils familiers de la théorie de monodromie l-adique. Nous allons démontrer que, malgré la complexité apparente, la monodromie locale des modules de Drinfeld se comporte de manière similaire aux variétés abéliennes.

Contexte scientifique et social du projet de recherche


Ce projet profitera aux chercheurs travaillant dans la géométrie arithmétique et la théorie des nombres. Les résultats prospectifs doivent préciser les propriétés de monodromie locale des modules de Drinfeld qui ont jusqu'à présent été obscure.

La conjecture de Fontaine-Mazur est l'un des problèmes clés de la géométrie arithmétique. Les résultats de notre projet permettront de formuler et d'attaquer un analogue de cette conjecture pour les modules de Drinfeld. Nous espérons que des résultats positifs dans cette direction fourniront de nouvelles idées pour l'étude du problème initial qui est actuellement considéré comme hors de portée.
Direct link to Lay Summary Last update: 07.09.2021

Responsible applicant and co-applicants

Employees

Abstract

Originating in algebraic geometry the concept of monodromy has spread to the areas of mathematics as distant as the theory of Gauss sums and mirror symmetry (via the notion of a maximally degenerate family). The goal of this project is to develop a local monodromy theory for Drinfeld modules. This lies at the intersection of function field arithmetic, representation theory of local Galois groups and the theory of shtukas and isocrystals.The theory of Drinfeld modules is remarkably similar to the theory of abelian varieties but their local monodromy behaves differently and is poorly understood. The present project shall fill this gap by means of a new theory of Galois representations. Besides direct applications to the arithmetic of Drinfeld modules this project shall(a) broaden the scope of the z-adic theory of Galois representations and put it on equal footing with the classical l-adic theory,(b) illuminate z-adic aspects of Galois representation theory which have no l-adic analog,(c) yield a z-adic analog of the theory of de Rham representations, and thus solve a major open probelm in the theory of local shtukas by extending this theory beyond the case of good reduction,(d) pave the way to a z-adic variant of local Langlands correspondence for the groups GLn, and to the Drinfeld module version of one of the central problems in arithmetic geometry, the celebrated Fontaine-Mazur conjecture.
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