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The Geometry of Polynomial Functors

Applicant Bik Michel Arthur
Number 199196
Funding scheme Postdoc.Mobility
Research institution Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften
Institution of higher education Institution abroad - IACH
Main discipline Mathematics
Start/End 01.01.2022 - 31.12.2023
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Keywords (5)

Polynomial Functors; Algebraic Geometry; Symmetry; Tensors; Representation Theory

Lay Summary (German)

Lead
Viele Anwendungen der Mathematik beinhalten heutzutage grosse Mengen hochdimensionaler Daten, in denen wir Strukturen finden möchten. Während den letzten Jahren wurde deutlich, dass solche Strukturen in vielen Fällen Symmetrien enthalten und von algebraisch-geometrischer Natur sind. Ziel dieses Projektes ist es, hochdimensionale Daten aus dieser Perspektive zu untersuchen.
Lay summary
Ziele des Forschungsprojekts

Algebraische Geometrie basiert auf der Tatsache, dass jede abgeschlossene Teilmenge eines endlich dimensionalen Vektorraums durch endlich viele Gleichungen beschrieben wird. Vor kurzem hat Draisma bewiesen, dass dies auch für abgeschlossene Teilmengen eines polynomialen Funktors der Fall ist. Während eine abgeschlossene Teilmenge eines endlich dimensionalen Vektorraums eine Struktur von Objekten fester Dimension darstellt, repräsentieren abgeschlossene Teilmengen eines polynomialen Funktors eine symmetrische Struktur von Objekten unbegrenzter Dimension. Wenn also die Grösse der zu untersuchenden Objekte nicht im Voraus bestimmt werden kann, ist die Geometrie von polynomialen Funktoren die natürlichere Untersuchungsumgebung. Das erste Ziel meines Projektes ist die Weiterentwicklung der Theorie dieser Geometrie.
 
Diese Entwicklung hat bereits in Zusammenarbeit mit Draisma, Eggermont und Snowden begonnen. Wir haben gezeigt, dass das Verständnis von Rangfunktionen auf (strukturierten) Tensoren von grundlegender Bedeutung ist, wenn wir die geometrische Struktur von polynomialen Funktoren verstehen wollen. Das zweite Ziel dieses Projektes ist die Untersuchung solcher Rangfunktionen. Insbesondere die Stärke von Polynomen, die in letzter Zeit viel verwendet, aber noch nicht gut verstanden wird.

Wissenschaftlicher und gesellschaftlicher Kontext des Forschungsprojekts

Die Untersuchung geometrischer Aspekte von polynomialen Funktoren ist sehr neu und hat bereits mehrere Anwendungen gefunden. Zum Beispiel wurden Draismas Ergebnisse verwendet, um eine berühmte Vermutung von Stillman über die Existenz einer von der Anzahl Variablen unabhängigen oberen Grenze der projektiven Dimension von homogenen Idealen in Polynomringen zu beweisen. Die Verbindung zwischen Rangfunktionen und der Geometrie von polynomialen Funktoren kann auch verwendet werden, um die Ergebnisse von Erman, Sam und Snowden an grossen Polynomringen zu erklären. Fortschritte in diesem Bereich würden ein besseres Verständnis solcher Zusammenhänge ermöglichen.
Direct link to Lay Summary Last update: 09.01.2021

Responsible applicant and co-applicants

Abstract

Hilbert's Basis Theorem states that every affine variety X in a finite-dimensional vector space V can be described as X = { p in V | f(p) = 0 for all f in S } for some finite set of polynomials S. This classical finiteness result is the foundation of algebraic geometry. When V is infinite-dimensional, this no longer holds and hence a general understanding of affine varieties in such spaces is out of reach. However, not all is lost. In many applications, the varieties of interest exhibit symmetry. So, instead of general varieties, we restrict our attention to varieties that have "sufficiently many" symmetries. These symmetries take the form of a group G acting on V. The vector space V is called G-Noetherian when every symmetric variety in it is characterized by finitely many polynomial equations. In recent years, many new examples of group-Noetherian spaces have been found. In particular, in his Journal of the AMS article of 2019, Draisma has shown that polynomials functors of finite degree are Noetherian. Like Hilbert's Basis Theorem did for algebraic geometry, Draisma's Theorem lays the foundation of a new field of research investigating the geometry of polynomial functors.In upcoming work, Draisma, Eggermont, Snowden and myself refine Draisma's ideas and prove the following theorem.Dichotomy Theorem. Let X be a closed subset of a polynomial functor P of finite degree. Then either X = P or X arises as a finite union of images from polynomial functors Q
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