Project

Discipline

BV algebras; coisotropic submanifolds; extended symplectic category; Poisson manifolds; symplectic reduction; symplectic groupoids; configuration spaces; BFV formalism; BV quantization; perturbative quantum field theories; deformation quantization

Lead
Questo è un progetto di matematica pura che trae ispirazione da concetti di base della fisica moderna e che si propone di sviscerarne le principali conseguenze.
Lay summary
Un’idea fondamentale di tutta la fisica moderna è il concetto di località, cioè il fatto che ci siano solo influenze nelle immediate vicinanze e che tutti gli effetti a distanza siano in realtà mediati da effetti appunto locali.   Nella descrizione matematica di cui facciamo uso la nozione di località è espressa come la possibilità di descrivere la fisica di una regione come una combinazione della fisica di regioni più piccole in cui la decomponiamo. Ciascuna di queste regioni più piccole comunica con le regioni circostanti attraverso interfacce comuni e un problema matematico interessante consiste nel descrivere queste interfacce e le informazioni che queste ereditano dalle regioni che racchiudono.   Un secondo aspetto fondamentale della fisica moderna è la traducibilità tra diverse descrizioni. P.es. possiamo guardare allo stesso fenomeno da punti d’osservazione diversi, ma possiamo anche decidere di misurare le grandezze in gioco con unità diverse. Il dizionario tra le diverse descrizioni ci permette di comunicare con altri osservatori. Questa traducibilità dei punti di vista diventa particolarmente interessante quando è combinata con la località: quando cerchiamo di incollare regioni diverse lungo un’interfaccia comune dobbiamo tener conto che le singole regioni possono essere presentate in linguaggi diversi.    Lo scopo generale di questo progetto consiste appunto nello sviluppare le idee matematiche che nascono da questi due concetti concetti di località e di traducibilità. Da una parte questo potrebbe darci strumenti più potenti per capire la realtà fisica e dall’altra ci potrebbe essere d’aiuto a sviluppare dei nuovi formalismi matematici, con potenziali applicazioni anche in altre aree. In particolare ci si concentrerà su alcune teorie fisiche ben note, come quelle che descrivono le particelle elementari o la gravitazione, ma anche su teorie di maggior interesse matematico, come le cosiddette teorie topologiche che permettono di caratterizzare strutture geometriche diverse.

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Last update: 27.03.2020

Number	Title	Start	Funding scheme

The main theme underlying this project is the mathematical understanding of classical and quantum field theories on manifolds with boundaries and corners, of the novel mathematical structures that arise in this study, and of the effective methods for pasting theories together both at the classical and at the quantum level. Based on an already successfully started program, this project aims at developing new ideas and techniques for a vast range of theories, encompassing not only topological ones.Among the goals of this project, we aim at constructing the Segal-Bargmann transform from one representation to another in the context of perturbative field theories, at understanding the structures that arise on space-time corners of higher codimensions, at developing the methods for computing quantum field theories by gluing manifolds with corners (and not only with boundaries) together. We also plan to keep applying these ideas to classical general relativity and to the quantization of Poisson manifolds, to extend them to quantum field theories involving fermions, and to develop the general formalism for discretized versions.The main methods to be used are mathematical tools we developed over the years stemming, among others, from the now classical approaches of Batalin-Vilkovisky and Batalin-Fradkin-Vilkovisky for the quantization and for the homological description of reduced phase spaces of field theories, from the approach of Kijowski and Tulczyjew for the geometrical determination of the reduced phase space of a theory, from formal geometry `a la Bott-Gelfand-Kazhdan, from ideas in deformation quantization, especially after Kontsevich, and from techniques on configuration spaces as developed by Axelrod and Singer, after Fulton and McPherson.This research fits in the renovated interest in the mathematical study of quantum field theories based, on the one hand, on ideas by Batalin and Vilkovisky for a “homotopical approach” to them and, on the other hand, on Segal’s and Atiyah’s ideas on cutting and pasting them in the case of manifolds with boundaries (and corners after Baez-Dolan and Lurie, although only in the topological case). Among the main players in different areas related to this line of research, I may cite (in a clearly not comprehensive list) Calaque, Costello, Felder, Fredenhagen, Getzler, Gwilliam, Kazhdan, Losev, Pantev, Schwarz, Rejzner, Stolz, Teichner, Toën, Vaquier, Vezzosi, in addition of course to my collaborators Mnëv and Reshetikhin.