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Local Time-Stepping Methods: Stability, Convergence and Advanced Applications

English title Local Time-Stepping Methods: Stability, Convergence and Advanced Applications
Applicant Grote Marcus
Number 188583
Funding scheme Project funding
Research institution Fachbereich Mathematik Departement Mathematik und Informatik Universität Basel
Institution of higher education University of Basel - BS
Main discipline Mathematics
Start/End 01.02.2020 - 31.01.2024
Approved amount 494'100.00
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Keywords (5)

numerical analysis; adaptive mesh refinement; wave propagation; finite element methods; local time-stepping

Lay Summary (German)

Lead
Die effiziente und detailtreue Computersimulation von Wellenphänomenen ist zentral bei vielen Anwendungen wie z.B. der medizinischen Bildgebung, der Seismik, dem Mobilfunk oder auch der zerstörungsfreien Materialprüfung. Ziel dieses Projekts ist es, einerseits eine rigorose Konvergenztheorie für explizite lokale Zeitschritte zu etablieren und andererseits deren Nutzen sowohl für Simulationen bei Unsicherheiten in der Wellengeschwindigkeit als auch für zeitharmonische Simulationen zu demonstrieren.
Lay summary
Die effiziente und detailtreue Computersimulation von Wellenphänomenen ist zentral bei vielen Anwendungen wie z.B. der medizinischen Bildgebung, 
der Seismik, dem Mobilfunk oder auch der zerstörungsfreien Materialprüfung. 
 
Numerische Verfahren zur Simulation von Wellenphänomenen basieren auf einer Raum- und Zeitdiskretisierung der Wellengleichung. 
Für die räumliche Diskretisierung sind finite Elemente Verfahren bestens geeignet, besonders weil sie auch in beliebig komplizierten
Geometrien einsetzbar sind. Für die zeitliche Diskretisierung sind explizite Zeitschrittverfahren besonders effizient
und lassen sich auch gut auf parallelen Hochleistungsrechnern einsetzen. Dabei benutzen Standardverfahren den gleichen Zeitschritt
im gesamten Rechengebiet, der wegen der CFL Stabilitätsbedingung durch die kleinste Maschenweite bestimmt ist. 
Dies ist bei lokal verfeinerten Gittern höchst ineffizient. Um diese CFL Stabilitätsschranke zu umgehen, wurden in den letzten Jahren
verschiedene lokale Zeitschrittverfahren (Local Time Stepping = LTS) entwickelt, die in den kleineren Elementen kleinere Zeitschritte 
und in den grösseren Elementen grössere Zeitschritte erlauben. Auch wenn lokale Zeitschrittverfahren sich in der Praxis schon bewährt 
haben, gibt es bisher noch keine allgemeine Konvergenztheorie. 

Bei der Zeitintegration der Wellengleichung unterscheidet man i.A. zwei Klassen von expliziten Zeitschrittverfahren: Leap-Frog (LF) Verfahren,
die auf der klassischen Formulierung 2. Ordnung basieren, und Runge-Kutta (RK) Verfahren, die auf der Umformulierung als System 1. Ordnung basieren. 
Für LF Verfahren konnten wir 2019 zum ersten Mal optimale Konvergenzraten für ein auf LF basierendes LTS Verfahren beweisen, jedoch 
nicht unter einer optimalen (CFL) Stabilitätsschranke. Es geht nun darum, das LTS-LF Verfahren leicht zu modifizieren, damit optimale Konvergenzraten auch 
unter einer optimalen CFL Bedingung bewiesen werden können. Ausserdem möchten wir versuchen, diese Konvergenztheorie auch auf RK basierende LTS Verfahren zu erweitern. 

Ziel dieses Projekts ist es deshalb, einerseits eine rigorose Konvergenztheorie für explizite lokale Zeitschritte zu etablieren
und andererseits deren Nutzen sowohl für Simulationen bei Unsicherheiten in der Wellengeschwindigkeit als auch 
für zeitharmonische Simulationen zu demonstrieren.  
 
Direct link to Lay Summary Last update: 23.01.2020

Responsible applicant and co-applicants

Employees

Associated projects

Number Title Start Funding scheme
169243 Local Time-Stepping Methods for Wave Propagation 01.02.2017 Project funding
169243 Local Time-Stepping Methods for Wave Propagation 01.02.2017 Project funding

Abstract

Efficient numerical methods for the simulation of wave phenomena are crucial for a wide range of applications from acoustics, electromagnetics or elasticity. Bothstandard conforming finite element and discontinuous Galerkin methods are widely used forthe spatial discretization of the governing PDE. In the presence of local mesh refinement due to material interfaces, small geometric features or corner singularities, the CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) stability condition of any explicit time-marching scheme will dictate a time-step determined bythe smallest elements in the mesh. Local time-stepping (LTS) methods permit to overcome that major bottleneck without sacrificing the inherent explicitness or parallelism. This project builds upon our ongoing project (til Feb. 2020) "Local Time Stepping Methods for Wave Propagation", where we have proposed and analyzed various new explicit local time-stepping (LTS) methods for the numerical integration of wave equations. Two recent highlights of our ongoing work are:- Proved optimal space-time convergence rates (in the PDE sense) for an (explicit) leap-frog based LTS method.- Applied LTS to controllability methods (CM) and achieved perfect strong scaling for high-frequency Helmholtzproblems with up to a billion unknowns on massively parallel architectures. In doing so, we also generalized the CM to arbitrary boundary value problems governed by the Helmholtz equation, which so farhad only been used for sound-soft scattering.During our research, we have also encountered new questions and identified two new advanced applications, for which LTS will be key component and (to the best of the applicant's knowledge) has never been used so far. The aims of this proposal are thus twofold: 1) Leap-frog based local time-stepping (LTS-LF): - Refine convergence theory by proving stability under a CFL condition where the global time-step only depends on the coarse mesh size and not on the coarse/fine mesh size ratio.- Apply LTS-LF to multilevel Monte Carlo (MLMC) methods for efficient uncertainty quantification ofwave phenomena in complex geometry.2) Runge-Kutta based local time-stepping (LTS-RK):- Prove optimal space-time convergence rates (in the PDE sense) under a CFL condition where the global time-step only depends on the coarse mesh size and not on the coarse/fine mesh size ratio.- Apply LTS-RK to CM using the first-order (mixed) formulation of the wave equation with a hybrid discontinuous Galerkin (HDG) discretization to obtain an inherently parallel and perfectly scalable high-order method for the Helmholtz equation.Therefore, this proposal consists of two separate research projects each concerned with a distinct class of LTS methods and a distinct application. Still, we expect much fruitful interation between the two projects in the stability and convergence analysis of the two types of LTS methods.
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