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Diophantine Equations: Special Points, Integrality, and Beyond

Applicant Habegger Philipp
Number 184623
Funding scheme Project funding (Div. I-III)
Research institution Departement Mathematik und Informatik Universität Basel
Institution of higher education University of Basel - BS
Main discipline Mathematics
Start/End 01.10.2019 - 30.09.2023
Approved amount 858'752.00
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Keywords (8)

Special points; Integral points; Mahler measure; Heights; Abelian varieties; Number Theory; Torsion points; Diophantine Geometry

Lay Summary (German)

Lead
Wir untersuchen Lösungen von diophantischen Gleichung die von besonderem Interesse in der Zahlentheorie sind.
Lay summary
Das Lösen von diophantischen Gleichung ist seit der Antik eine zentrale Fragestellung in der Zahlentheorie und in der Mathematik. Eine diophantische Gleichung benutzt nur die elementaren Grundrechenarten und weist mehrere Unbekannte auf, die in ganzen Zahlen oder in Brüchen zu lösen sind. Im 20ten Jahrhundert wurden von Thue, Siegel, Faltings und Vojta spektakuläre Resultate über das Lösungsverhalten solcher Gleichungen in zwei Variablen (und darüber hinaus) erzielt. Beispielsweise hat eine diophantische Gleichung nur endlich viele Lösungen in Brüchen, falls sie eine Kurve von Geschlecht mindestens zwei repräsentiert.

Das Projekt beschäftigt sich mit zwei Fragen.

Erstes Ziel ist es, für eine Klasse von diophantischen Gleichungen in zwei Variablen die Anzahl Lösungen in Brüchen zu beschränken. Als Motivation und Hilfsmittel dient ein neues Resultat des PI mit seinem Koauthor Ziyang Gao. Diese muss jedoch stark verallgemeinert werden, um die Fülle aller diophantischen Gleichungen abzudecken.

Zweites Ziel ist es, diophantische Eigenschaften spezieller Punkte hinsichtlich einem geeigneten Ganzzahligkeitsbegriff zu untersuchen. Spezielle Punkte sind Einheitswurzeln, Werte der Kleinschen j-Funktion, sowie Verallgemeinerungen davon. Als Motivation dient der Satz von Siegel über ganzzahlige Lösungen diophantischer Gleichung sowie die Vermutung von Lang über ganzzahlige Punkt auf abelschen Varietäten, ein Satz von Faltings. Es gibt entsprechende Vorarbeiten, aber die behandeln zur Zeit nur Dimensionen 1 und 2. Ein wichtiger Aspekt des Projekts ist es, Methoden für den allgemeinen Fall zu entwickeln.


Direct link to Lay Summary Last update: 25.09.2019

Responsible applicant and co-applicants

Employees

Associated projects

Number Title Start Funding scheme
165525 Diophantine Problems, o-Minimality, and Heights 01.04.2016 Project funding (Div. I-III)
165525 Diophantine Problems, o-Minimality, and Heights 01.04.2016 Project funding (Div. I-III)

Abstract

Describing the rational and integral solutions of diophantineequations is among the oldest problems in mathematics. In the 20thcentury great progress was made by Thue, Siegel, Faltings, Vojta, andmany others towards our understanding of rational and integral pointsin abelian varieties. Landmark results were conjectures of Mordell andLang. Special values of classical transcendental functions, such asthe exponential function, Weierstrass functions, and modular forms,are a rich source of points of arithmetic significance. Thesespecial points include roots of unity, points of finite orderon abelian varieties, and special points on Shimura varieties. TheConjectures of Manin-Mumford and André-Oort, now known to be true inmany important cases, underscore a striking similarity between specialpoints and rational points. Recent work also suggests a deepconnection between special points and integral points. This connectionis less well understood and lies outside the scope of theaforementioned conjectures. One purpose of this proposal is toinvestigate special points through the lens of Lang's Conjecture onintegral points. Furthermore, there are intriguing connections toergodic theory and dynamical systems. Another focus are the morerecent, and largely open, conjectures on unlikely intersections. Theyare due independently to Bombieri--Masser--Zannier, Pink, and Zilberand go the beyond the conjectures above in a different way. They havebeen the source of many positive interactions between number theoryand model theory.
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