Project

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Fractals in dynamics and probability

Applicant Iseli Annina
Number 181898
Funding scheme Early Postdoc.Mobility
Research institution Department of Mathematics University of California (UCLA) University Park
Institution of higher education Institution abroad - IACH
Main discipline Mathematics
Start/End 01.10.2018 - 31.03.2020
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Keywords (17)

Thurston maps; branched coverings; probability; dynamics; fractal geometry; quasiconformal geometry; conformal geometry; fractals; Julia sets; visual sphere; dynamical systems; snowflake curve; Cannon's conjecture; rational maps; metric analysis; metric geometry; random processes

Lay Summary (German)

Lead
Fraktale sind geometrische Objekte, deren topologische Dimension nicht notwen-digerweise ihrer metrischen Dimension entspricht. In der Natur gibt es zahlreiche Phänomene, die sehr adäquat durch fraktale Mengen modelliert werden können. Beispiele dafür sind Schneeflocken, Flussgeschiebe, Küstenlinien oder Pflanzen-strukturen. Auch innerhalb der Mathematik treten Fraktale in den unterschiedlichs-ten Kontexten auf. In allen diesen Kontexten ist es essentiell, Fraktale hinsichtlich ihrer relevanten Eigenschaften beschreiben und vergleichen zu können.
Lay summary

Ziele des Projekts

Der erste Teil des Projektes geht der Frage nach, wann die Geometrie zweier fraktaler Sphären, die jeweils durch die Dynamik einer bestimmten Art von Selbstabbildung der Sphäre (Expanding Thurston Maps) induziert sind, vergleichbar ist. Ein Theorem von Bonk und Meyer (2017) führt die Geometrie einer fraktalen Sphäre auf die analytischen Eigenschaften der zugrundeliegenden Thurston Map zurück. Ich werde an einer Variante dieses Theorems arbeiten, welche auf den kombinatorischen Eigenschaften der jeweiligen Thurston Maps abstellt.

Der zweite Teil des Projektes widmet sich der Wahrscheinlichkeit geometrischer Äquivalenzen zwischen fraktalen Objekten, die durch Zufallsprozesse generiert wurden. Ich werde der Frage nachgehen, mit wie grosser Wahrscheinlichkeit zwei zufällig generierte Schneeflockenkurven (oder Schneesphären) Bilpschitz-äquivalent sind.

Wissenschaftlicher Kontext

Eine kombinatorische Variante von Bonk-Meyers Theorem kann als eine Charakterisierung von rationalen Abbildungen im Sinne von Thurstons berühmter Charakterisierung aus den 1980ern verstanden werden. Zudem könnte diese auch Cannons Vermutung (1980er) über visuelle Sphären hyperbolischer Gruppen teilweise bestätigen.

Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit geometrischer Äquivalenzen von zufälligen Objekten ist eine eher junge Frage und gegenwärtig in vielen Bereichen der reinen und angewandten Mathematik von grossem Interesse. Die Methoden, die ich zur Beantwortung meiner Fragestellung ausarbeiten werde, könnten sich auch in einem breiteren Kontext als relevant herausstellen.

Direct link to Lay Summary Last update: 18.06.2018

Responsible applicant and co-applicants

Scientific events

Active participation

Title Type of contribution Title of article or contribution Date Place Persons involved
Rainwater Seminar, University of Washington Individual talk Thurston Maps with four postcritical points 04.02.2020 Seattle, WA, USA, United States of America Iseli Annina;
Analysis and Geometry on Metric Spaces and Fractals (AMS Sectional meeting) Talk given at a conference Thurston Maps with four post-critical points 14.09.2019 Madison, WI, USA, United States of America Iseli Annina;
Recent Developments in Harmonic Analysis (AMS Sectional meeting) Talk given at a conference Dimension and projections in normed spaces 14.09.2019 Madison, WI, USA, United States of America Iseli Annina;
Geometric Analysis on Riemannian and Singular Metric Measure Spaces, Lake Como School of Advanced Studies Talk given at a conference Thurston Maps with four post-critical points 01.07.2019 Como, Italy Iseli Annina;
Analysis, Geometry, and PDEs in Non-smooth Metric Spaces (AMS Sectional meeting) Talk given at a conference Marstrand type projection theorems in normed spaces 13.04.2019 Hartford, CT, USA, United States of America Iseli Annina;
Topology, Algebraic Geometry, and Dynamics Seminar (TADS), George Mason University Individual talk Expanding Thurston maps and visual spheres 05.04.2019 Fairfax, VI, USA, United States of America Iseli Annina;
Topics at the Interface of Analysis and Geometry (AMS Sectional Meeting) Talk given at a conference Dimension and projections in normed spaces 22.03.2019 Honolulu, HI, USA, United States of America Iseli Annina;
Analysis and PDE Seminar, UCLA Individual talk Thurston Maps with four post-critical points 22.02.2019 Los Angeles, CA, USA, United States of America Iseli Annina;
Analysis Seminar, University of Edinburgh Individual talk Dimension and projections in normed spaces 07.01.2019 Edinburgh, Scottland, UK, Great Britain and Northern Ireland Iseli Annina;


Communication with the public

Communication Title Media Place Year
Media relations: print media, online media https://dailybruin.com/2019/05/01/art-to-heart-intersection-of-art-and-math-generates-visually-compl The Daily Bruin International 2019

Awards

Title Year
2020 AMS Simons Travel Grant. http://www.ams.org/programs/travel-grants/AMS-SimonsTG/recipients 2020

Abstract

This research project is concerned with the interplay between fractal geometry, dy-namics, and probability theory.The overriding goal of the first part of the project is to find a combinatorial formula-tion of Bonk-Meyer’s (2017) version of Thurston’s characterization of rational maps by studying the combinatorial properties of expanding Thurston maps on the Rie-mann sphere. This problem is closely related to Cannon’s conjecture in hyperbolic group theory, the study of Julia sets, as well as other problems in conformal and quasiconformal geometry.The second part of this project is concerned with the probability of equivalence be-tween two randomly generated fractal objects. In particular, a main goal is to deter-mine with what probability two randomly generated snowflake curves (or two ran-domly generated snowspheres) are bi-Lipschitz equivalent. The question of the probabilistic size of equivalence classes of geometric objects is of great importance in many applications.
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