Lead
La quantification de l'incertain est un sujet de recherche de plus en plus développé depuis quelques années. Beaucoup d’applications dans certains domaines des sciences, de la technologie et de l'ingénierie requièrent des prévisions fiables, en utilisant des modèles mathématiques et des simulations numériques, qui font intervenir certains paramètres, non connus de manière précise, ou qui peuvent même évoluer au cours des expériences.Dans ce projet, nous étudions la propagation de cette incertitude, à travers un système d'équations aux dérivées partielles, faisant intervenir le temps, avec données d'entrées incertaines. La quantification numérique de cette incertitude peut devenir un challenge, comme par exemple dans le cas d'équations d'évolutions aléatoires, qui font intervenir des grands temps d'intégration, car la structure, complexe, de la solution aléatoire, peut complètement changer au cours du temps.

Lay summary
Nous proposons de développer et d’analyser une méthode dite de “dynamique à rang faible” (Dynamical Low Rank – DLR – en anglais) pour un système régi par des équations différentielles aux dérivées partielles dépendant du temps, avec des données d'entrée incertaines. La méthode DLR est un modèle d’ordre réduit. Il est donc résoluble en un temps de calcul relativement faible, avec une solution développée en combinaison linéaire de quelques fonctions spatiales déterministes bien choisies, avec des coefficients aléatoires. La particularité de la méthode DLR est que les fonctions spatiales ne sont pas choisies à priori, mais calculées en temps réel et peuvent être amenées à changer, au fur et à mesure que le temps évolue. Ces fonctions en espace sont donc ajustées à tout instant, à la structure actuelle, de l’ensemble des solutions. La formulation mathématique propre de la méthode DLR pour différent type d'équations, l’analyse de leur discrétisation numérique, et leurs applications à des problèmes compliqués en dynamique des fluides ou à l'équation des ondes sont au cœur de ce projet. La méthode DLR est particulièrement attrayante dans des problèmes d’assimilation de données, c. à d. quand l’ensemble des solutions est corrigé à un certain temps, pour, par exemple, prendre en compte de nouvelles mesures, comme c’est le cas en météorologie. L’extension et la formalisation de la méthode DLR à l’assimilation de données est un des buts du projet.