Lead
In der Homogenen Dynamik wird das Langzeitverhalten von Bahnen studiert, die in Räumen leben die durch starke Symmetrien ausgezeichnet sind. Oft geben algebraische Strukturen massgebende Einschränkungen zur Klassifikation dieser, und zahlentheoretisches Wissen kann genutzt werden um Aussagen zu quantifizieren.Eine Hauptanwendung von Methoden der Dynamik ist das Zählen von Punktmengen algebraischen Ursprungs. Etwa das Zählen von Gitterpunkten in einem Ball oder dessen Kugelfläche wenn der Radius gegen unendlich strebt, kann in ein Problem der Gleichverteilung von abgeschlossenen Bahnen auf dem Raum der Gitter deren Kovolumen eins hat, transferiert werden.Schwerpunkt des Projekt ist es, allgemeinere Punktemengen im Kontext von Flachen Geometrien und Quasikristallen als nur die von Gittern zu studieren.

Lay summary

Ziel dieses Projekt ist es, statt Gitterpunkte andere Punktmengen zu betrachten, die zwar nicht die gleiche Art von Periodizität aufweisen wir Gitterpunkte, aber noch genug algebraischen oder geometrischen Ursprunges sind, um obige Methoden nach etwaigen Anpassungen zu verwenden.

Ein Beispiel sind die Endpunkte abgeschlossene Geodäten von 2-dimensionalen Flächen diverser Genera die mit einer flachen Geometrie bestückt sind. Stattet man eine kompakte Fläche mit einem Abelschen Differential aus, so induziert man eine flache Geometrie auf dieser Fläche mit Ausnahme endlich vielen Punkten, sogenannten Singularitäten deren Verbindungsstücke man zählen kann. In einer Reihe von Arbeiten vieler Autoren wurde gezeigt, dass diese eine quadratische Asymptotik aufweisen. Genauer, gilt dieses Result nur für fast alle Flächen (im Sinne der Masstheorie) und für alle sogenannte Gitterflächen die zusätzliche Symmetrien besitzen. Wir wollen diese Aussage quantifizieren in dem ein Fehlerterm eingeführt wird. Im Fall der Gitterflächen, ist es Ziel die Aussage von Bällen auch für Sektoren studieren.

Ein weiteres Beispiel sind Quasikristalle die durch Projektionen von höher dimensionalen Gittern entstehen, zu dem auch die Penroseparkettierungen gehören. Auch hier wurden Symmetrien gefunden, so dass der Raum der Quasikristalle mit der homogenen Dynamik studieren kann, und erhofft, dynamische Beweise für das asymptotische Verhalten von Punkten in allgemeineren Körpern zu finden.

In diesem Projekt soll der Einzug der Homogenen Dynamik in sehr verschiedenen und a priori getrennten Mathematischen Gebieten fortgesetzt werden. Die Fragestellung des Zählens ist eine der einfachsten zu formulierenden Probleme. Das Ausnützen von Symmetrien (d.h. Aktionen von Gruppen), und deren dynamisches Verhalten hat in der Vergangenheit viele erstaunliche Resultate aufgezeigt, und diese sollen an obigen Beispielen weiterentwickelt werden.