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Sheaf Representations of Lattice-Ordered Algebras

Applicant Colacito Almudena
Number 195473
Funding scheme Early Postdoc.Mobility
Research institution Département de Mathematiques Université de Nice-Sophia-Antipolis
Institution of higher education Institution abroad - IACH
Main discipline Mathematics
Start/End 01.08.2020 - 31.01.2022
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Keywords (8)

residuated lattice; sheaf representation; lattice-ordered group; duality theory; Boolean product; representation theorem; lattice-ordered algebra; distributive lattice

Lay Summary (Italian)

Lead
La parola 'fascio' trasmette l'immagine mentale di un 'fascio di spighe di grano'; in altre parole, l'idea di un intero le cui proprietà sono determinate da oggetti più semplici legati tra loro. In matematica, un fascio è uno strumento fondamentale per lo studio delle proprietà geometriche degli oggetti, e permette di mettere in relazione proprietà locali e globali di un oggetto. Rappresentare classi di algebre tramite i fasci è quindi di grande utilità.
Lay summary

Soggetto e obiettivo

L'obiettivo principale del progetto è quello di ottenere un'analisi delle rappresentazioni per fasci di algebre che hanno un ridotto di reticolo distributivo; questo ridotto rende possibile l'utilizzo della teoria della dualità reticolare nella loro teoria della rappresentazione. Gli obiettivi del progetto sono: (i) ampliare il dominio di applicazione delle tecniche di rappresentazione per fasci attualmente disponibili; (ii) usare la teoria della dualità per ottenere tecniche di più ampio respiro, che siano applicabili a classi di algebre più generali (per esempio, reticoli residuati). Si utilizzeranno strumenti che spaziano dalla topologia, all'algebra generale e alla teoria delle categorie. 

Contesto socio-scientifico

I fasci hanno giocato un ruolo centrale nella teoria della rappresentazione in algebra generale già a partire dagli anni '60. Il nostro lavoro permetterà di importare metodi geometrici e topologici nello studio dei gruppi reticolarmente ordinati, con l'ambizione di estendere risultati ottenuti negli anni '70 per il caso commutativo, e rivisitati di recente da Gehrke e van Gool (2018). Il progetto avrà inoltre un impatto sulla comprensione dei reticoli residuati e, di conseguenza, sullo studio della logica sottostrutturale e polivalente, di cui i reticoli residuati rappresentano la controparte algebrica.

Direct link to Lay Summary Last update: 26.06.2020

Responsible applicant and co-applicants

Abstract

In general algebra, representation theorems are motivated by the necessity of decomposing agiven algebraic structure into simpler algebras, in such a way that properties of the whole structure are reduced to properties of the simpler algebras. The classical result that 'good' sheaf representation theorems are related to the existence of a distributive lattice of commuting congruences (Chinese Reminder Theorem) has been recently generalized by Gehrke and van Gool (2018), to encompass previously known sheaf representation results. The first part of this research project is concerned with extending the scope of the techniques developed in Gehrke and van Gool's article, to encompass wider classes of (lattice-ordered) algebras, focussing in particular on lattice-ordered groups. The goal of the second part of this project is to obtain generalizations of sheaf representations and Boolean products using tools and techniques from duality theory. The central idea of this part of the project is to study wider classes of algebras with a distributive underlying lattice and exploit the latter via duality, aiming at a comprehensive account of the representabilty of such algebras.
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