Project

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Application of Homogeneous Dynamics: Effective Equidistribution and Counting

Applicant Rühr Rene
Number 168823
Funding scheme Early Postdoc.Mobility
Research institution Department of Mathematics Tel Aviv University
Institution of higher education Institution abroad - IACH
Main discipline Mathematics
Start/End 01.09.2016 - 28.02.2018
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Keywords (8)

Translation Surfaces; Effectiveness; Equidistribution; Spectral Gap; Homogeneous Spaces; Quasicrystals; Ergodic Theory; Number Theory

Lay Summary (German)

Lead
In der Homogenen Dynamik wird das Langzeitverhalten von Bahnen studiert, die in Räumen leben die durch starke Symmetrien ausgezeichnet sind. Oft geben algebraische Strukturen massgebende Einschränkungen zur Klassifikation dieser, und zahlentheoretisches Wissen kann genutzt werden um Aussagen zu quantifizieren.Eine Hauptanwendung von Methoden der Dynamik ist das Zählen von Punktmengen algebraischen Ursprungs. Etwa das Zählen von Gitterpunkten in einem Ball oder dessen Kugelfläche wenn der Radius gegen unendlich strebt, kann in ein Problem der Gleichverteilung von abgeschlossenen Bahnen auf dem Raum der Gitter deren Kovolumen eins hat, transferiert werden.Schwerpunkt des Projekt ist es, allgemeinere Punktemengen im Kontext von Flachen Geometrien und Quasikristallen als nur die von Gittern zu studieren.
Lay summary

Ziel dieses Projekt ist es, statt Gitterpunkte andere Punktmengen zu betrachten, die zwar nicht die gleiche Art von Periodizität aufweisen wir Gitterpunkte, aber noch genug algebraischen oder geometrischen Ursprunges sind, um obige Methoden nach etwaigen Anpassungen zu verwenden.

Ein Beispiel sind die Endpunkte abgeschlossene Geodäten von 2-dimensionalen Flächen diverser Genera die mit einer flachen Geometrie bestückt sind. Stattet man eine kompakte Fläche mit einem Abelschen Differential aus, so induziert man eine flache Geometrie auf dieser Fläche mit Ausnahme endlich vielen Punkten, sogenannten Singularitäten deren Verbindungsstücke man zählen kann. In einer Reihe von Arbeiten vieler Autoren wurde gezeigt, dass diese eine quadratische Asymptotik aufweisen. Genauer, gilt dieses Result nur für fast alle Flächen (im Sinne der Masstheorie) und für alle sogenannte Gitterflächen die zusätzliche Symmetrien besitzen. Wir wollen diese Aussage quantifizieren in dem ein Fehlerterm eingeführt wird. Im Fall der Gitterflächen, ist es Ziel die Aussage von Bällen auch für Sektoren studieren.

Ein weiteres Beispiel sind Quasikristalle die durch Projektionen von höher dimensionalen Gittern entstehen, zu dem auch die Penroseparkettierungen gehören. Auch hier wurden Symmetrien gefunden, so dass der Raum der Quasikristalle mit der homogenen Dynamik studieren kann, und erhofft, dynamische Beweise für das asymptotische Verhalten von Punkten in allgemeineren Körpern zu finden.

In diesem Projekt soll der Einzug der Homogenen Dynamik in sehr verschiedenen und a priori getrennten Mathematischen Gebieten fortgesetzt werden. Die Fragestellung des Zählens ist eine der einfachsten zu formulierenden Probleme. Das Ausnützen von Symmetrien (d.h. Aktionen von Gruppen), und deren dynamisches Verhalten hat in der Vergangenheit viele erstaunliche Resultate aufgezeigt, und diese sollen an obigen Beispielen weiterentwickelt werden.

 

Direct link to Lay Summary Last update: 12.07.2016

Responsible applicant and co-applicants

Publications

Publication
Effective counting on translation surfaces
Nevo Amos, Rühr Rene, Weiss Barak (2020), Effective counting on translation surfaces, in Advances in Mathematics, 360, 106890-106890.
Counting saddle connections in a homology class modulo \begin{document}$ \boldsymbol q $\end{document} (with an appendix by Rodolfo Gutiérrez-Romo)
Magee Michael, Rühr Rene (2019), Counting saddle connections in a homology class modulo \begin{document}$ \boldsymbol q $\end{document} (with an appendix by Rodolfo Gutiérrez-Romo), in Journal of Modern Dynamics, 15(0), 237-262.

Collaboration

Group / person Country
Types of collaboration
Tel Aviv Israel (Asia)
- Publication

Scientific events

Active participation

Title Type of contribution Title of article or contribution Date Place Persons involved
Teichmueller Dynamics Talk given at a conference Effective Counting of Translation Surfaces 05.03.2018 Warwick, Great Britain and Northern Ireland Rühr Rene;
Geometry and Dynamics of Moduli Spaces Talk given at a conference Counting of Saddle Connections 22.08.2017 Dublin, Ireland Rühr Rene;


Abstract

We propose to pursue general counting and approximation results on diverse areas of mathematics by use of ergodic theory - the study of dynamical systems with a transformation that preserves a (usually naturally given) finite measure on the underlying space.More precisely, it is proposed to get effective results (that is, to give an explicit error term) in the counting of saddle connections on translation surfaces, and counting of points on quasicrystals. The main method is the Siegel-Veech formula, which allows to phrase the counting function in an ergodic theoretic context. At this stage, the classification of measures invariant and ergodic under groups generated by unipotent elements of an acting symmetry group, and the isolation of the trivial representation in the classification of unitary representation of the regular action on homogeneous spaces will play a central role.Both the rigidity of unipotent dynamics and the existence of spectral estimates have been fruitfully applied in the past 20 years, mostly to number theory (e.g. in the theory of Diophantine approximation, or alternative approaches to Duke's theorem and other problems of Linnik type).More recently, homogeneous dynamics has entered also other areas, e.g. in the dynamics on Teichmueller space (counting of saddle connections by Eskin-Mazur, Veech), and in the context of quasicrystals (study of the distribution of free path lengths by Marklof-Strombergsson). We aim to prove stronger theorems in these given directions, e.g. by adding error terms by use of either spectral estimates and developing Roger's formula on these spaces, which is a refinement to Siegel's classical formula.
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