Project

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Star-products, Drinfeld twists and Rankin-Cohen brackets

Applicant Alekseev Anton
Number 182767
Funding scheme Project funding (Div. I-III)
Research institution Université de Genève Institut des sciences de l'environnement
Institution of higher education University of Geneva - GE
Main discipline Mathematics
Start/End 01.01.2019 - 31.12.2022
Approved amount 262'661.00
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Keywords (4)

Lie theory; Rankin-Cohen brackets; Deformation quantization; Symmetric spaces

Lay Summary (French)

Lead
La quantification est un des plus grand mystère dans la physique et dans les mathématiques modernes. C'est une procédure qui associe une algèbre à un système de la physique classique. Dans cette algèbre, les observables tels que les coordonnées et les quantités de mouvement ne commutent pas entre eux. Cette observation joue un rôle très important en physique quantique. Entre autre, elle implique le principe d'incertitude de Heisenberg qui nous dit qu'il est impossible de mesurer une coordonnée de la particule et son impulsion en même temps. En mathématiques, la recherche se focalise sur la question de construction des algèbres quantiques et sur l'étude de ses propriétés.
Lay summary
Contenu et objectifs du travail de recherche

Parmi les systèmes quantiques, les exemples avec beaucoup de symétrie jouent un rôle important. D'une part, ils admettent souvent des solutions explicites. Et d'autre part, il existe des liens entre la théorie des systèmes quantiques avec une symétrie et la théorie des représentations des groupe et algèbres de Lie. Dans ce projet, nous aimerions développer la méthode de quantification basée sur la théorie des twists de Drinfeld. Notre but principal est de construire des nouveaux twists, au delà de la théorie perturbative. Un autre but est d'établir un lien entre la théorie de quantification et la théorie de nombres en utilisant les crochets de Rankin-Cohen.

Contexte scientifique et social du projet de recherche

C'est un projet interdisciplinaire qui a pour but d'établir des nouveaux liens entre la physiques et les mathématiques ainsi que des nouvelles connexions entre la théorie de quantification, la théorie de représentations et la théorie de nombres. Ce projet est une collaboration entre le Fonds National Suisse de la Recherche Scientifique et le Fonds National de la Recherche Scientifique de la Belgique. Le groupe de recherche du professeur Anton Alekseev (Université de Genève) et le groupe de recherche du professeur Pierre Bieliavsky (Université Catholique de Louvain) travailleront en collaboration étroite sur ce projet ambitieux.


Direct link to Lay Summary Last update: 10.11.2018

Responsible applicant and co-applicants

Employees

Associated projects

Number Title Start Funding scheme
178828 Algèbre, Analyse, Géométrie et Physique 01.10.2018 Project funding (Div. I-III)
178794 Linearization, Poisson structures and Quantization 01.04.2018 Project funding (Div. I-III)

Abstract

The major themes developed in the project are the theory of symmetric spaces, and representation theory of real Lie groups and operator algebras in interaction with symplectic and Poisson geometry. Another viewpoint on the project is through deformation quantization. We focus on analytic aspects of the topic with deformations being defined by analytic functions rather than formal power series. The project consists of 4 interacting parts:Part 1: to prove (in the non-formal context) the generalized Weinstein conjecture which states that the *-product on a symplectic symmetric space is given by an oscillatory integral with integrand the exponential of the areas of triangles in the symmetric space. This part of the project mainly uses geometric techniques.Part 2 deals first with the construction of non commutative compact quotients of Hermitian symmetric spaces. It aims at the analysis of deformation fields of topological operator algebras. This part of the project is mainly analytic, even though it relies on Part 1.Part 3 focuses on the construction of new examples of locally compact quantum groups. It is based on the construction of non-formal Drinfeld twists which will be obtained from results of Part 1 and Part2. This part of the project makes contact to deformation quantization of coadjoint orbits which is based on dynamical Drinfeld twists.Part 4 aims at applications to modular forms via the theory of Rankin-Cohen's brackets, and to the foliation theory. We also plan to elucidate the relation between Rankin-Cohen brackets and deformation quantization of coadjoint orbits of SL(2, R).The project relies on complimentary skills and background of the two PIs. Anton Alekseev (AA) has experience in (formal) deformation quantization of coadjoint orbits and in the theory of Drinfeld twists. Pierre Bieliavsky (PB) is an expert in non-formal deformation quantization, in the theory of symmetric spaces and in the theory of operator algebras. It is planned to hire 2 PhD students within the project, 1 based in Louvain and 1 based in Genev with the two PIs as co-advisors. It is also planned to hire 2 postdoctoral fellows (for one year each) based in Louvain.
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