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Model order reduction based on functional rational approximants for parametric PDEs with meromorphic structure

English title Model order reduction based on functional rational approximants for parametric PDEs with meromorphic structure
Applicant Nobile Fabio
Number 182236
Funding scheme Project funding (Div. I-III)
Research institution EPFL - SB - SMA-GE
Institution of higher education EPF Lausanne - EPFL
Main discipline Mathematics
Start/End 01.01.2019 - 31.12.2021
Approved amount 191'598.00
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Keywords (7)

Approximation rationnelle; fonctions méromorphes; approximation de Padé vectorielle; approximation de Padé multivariée; EDP paramétrées; théorie spectrale des opérateurs différentiels; doublets de Froissart

Lay Summary (French)

Lead
Les modèles computationnels pour la simulation de phénomènes de propagation d'onde, décrits par des équations aux dérivées partielles (EDP) et qui apparaissent par exemple en acoustique, électromagnétisme ou dans l'étude des vibrations de structures, sont très coûteux surtout si la fréquence d'oscillation de l'onde est élevé. Souvent, dans ces applications, on ne s'intéresse pas seulement à calculer la solution pour une fréquence donnée, mais plutôt à étudier la réponse en fréquence du système pour tout un intervalle de fréquences d'intérêt, ce qui rend le coût prohibitif. Dans ce contexte, l'utilisation de modèles réduits est très intéressante car ces modèles, dans les cas les plus favorables, permettent de construire une réponse en fréquence approchée, qui peut être évaluée facilement en toute fréquence d'intérêt, au coût de simuler le système seulement pour quelques fréquences bien choisies.
Lay summary
Dans ce projet, on propose une méthode innovant pour construire des modèles réduits, basée sur des approximations rationnelles du type Padé-moindre carrés. On vise a développer des algorithmes performants et démontrer des résultats de convergence de l'approximation rationnelle dans le contexte des problèmes de propagation d'onde mentionnés auparavant et de leur réponse en fréquence. Les développements théoriques et pratiques exploiteront la structure du problème et notamment le fait que la solution de ce type d'équations aux dérivée partielles est souvent une fonction méromorphe de la fréquence d'oscillation.

Les résultats théoriques qu'on vise a démontrer pourraient ouvrir la possibilité d'analyser aussi d'autres types de modèles réduits, comme par exemple les méthodes de bases réduites.

Dans une deuxième partie du projet, nous étendrons la méthodologie pour décrire la réponse du système non seulement par rapport à la fréquence d'oscillation mais aussi par rapport à d'autres paramètres comme, par exemple, les coefficients élastiques ou diélectriques du matériel ou encore les paramètres caractérisant la forme géométrique du domaine, dans un contexte d'approximation rationnelle multivariée.
Direct link to Lay Summary Last update: 26.11.2018

Responsible applicant and co-applicants

Employees

Name Institute

Project partner

Associated projects

Number Title Start Funding scheme
172678 Uncertainty Quantification techniques for PDE constrained optimization and random evolution equations. 01.08.2017 Project funding (Div. I-III)
140574 Efficient numerical methods for flow and transport phenomena in heterogeneous random porous media. 01.04.2012 Project funding (Div. I-III)

Abstract

Computational methods for time-harmonic analysis of wave propagation phenomena, e.g. in acoustic or elastodynamics, are extremely computationally intensive in mid- and high-frequency regimes as they require high order and highly refined discretizations. As such, a direct frequency response analysis in a whole range of frequencies of interest has often a prohibitive cost and remains a major challenge. In this respect, model order reduction (MOR) methods are very appealing as they allow to build approximate frequency response functions that can be cheaply evaluated in a whole range of frequencies, starting from only a few (well chosen and very expensive) solves of the original large dimensional problem.In this project, we focus on few applications of great practical relevance, such as time-harmonic acoustic or elastodynamic equations in internal (resonance) or external (scattering) domains for which the solution, typically defined in some infinite dimensional Hilbert space, can be proven to be a meromorphic function of the frequency parameter.We propose an innovative model order reduction method based on rational approximation which can provide accurate and inexpensive-to-evaluate approximate frequency response functions. Although the theory of rational approximation for real or complex valued functions is well established and early results date back to more than one century, its extension to Hilbert space-valued functions and application to parametric partial differential equations (PDEs) and frequency response problems are relatively new and many theoretical results are still missing. This project aims to contribute substantially to the field. In particular, we focus on least squares type Pad\'e approximants (LSPAs), building upon the preliminary results in [F. Bonizzoni, F. Nobile, I. Perugia, 2017] and aim at deriving new convergence results and efficient and robust computational strategies for the aforementioned target applications.We believe that the developed approaches will be highly competitive, and hopefully superior to currently available model order reduction methods for frequency response analysis of time-harmonic wave problems. Moreover, if successful, our convergence results will provide a solid theoretical ground on the accuracy of this type of approximations which could possibly extend also to other types of MOR methods currently in use.Finally, we will extend the methods to approximate the dependence of the solution of the underlying PDEs also to other physical parameters, e.g. for uncertainty quantification purposes, in the framework of multivariate Hilbert space-valued rational approximation.
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