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Kokotsakis polyhedra: analysis of foldable structures

Applicant Izmestiev Ivan
Number 179133
Funding scheme Project funding (Div. I-III)
Research institution Département de Mathématiques Université de Fribourg
Institution of higher education University of Fribourg - FR
Main discipline Mathematics
Start/End 01.01.2019 - 31.12.2020
Approved amount 294'061.01
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Keywords (3)

Origami.; Discrete integrable systems.; Flexible polyhedra.

Lay Summary (German)

Lead
Polyedrische Flächen finden Anwendung in Architektur und Technik. In diesem Projekt untersuchen wir eine spezielle Klasse beweglicher polyedrischen Flächen, basierend auf der 2017 erschienenen Arbeit des Antragstellers.
Lay summary

In diesem Projekt werden bewegliche polyedrische Flächen untersucht. Eine polyedrische Fläche besteht aus Polygonen, die entlang der Seiten identifiziert sind. Die Fläche kann abgeschlossen sein, wie zum Beispiel die Oberfläche des Würfels, oder einen Rand besitzen. In der Architektur findet man solche Strukturen als Kuppeln oder Fassaden. Polyedern sind eng mit Stabwerken verbunden; diese findet man auch häufig in Architektur und Technik.

Eine polyedrisch Fläche heisst starr, wenn sie keine Verformungen zulässt, bei welchen die Polygonen ihre Form nicht ändern, und nur die Diederwinkel variiert werden.

Manchmal will man, dass eine polyedrische Fläche starr sei (das ist der Fall mit einer Kuppel).

Manchmal sind aber bewegliche Flächen gefragt. Ein Beispiel sind die Solarpanelen eines japanischen Satellites: sie werden in den Weltraum in einem gefalteten Zustand geschickt, und entfalten sich wenn das Satellit auf der Orbit ist.

Das Faltmuster der Solarpanelen, nach seinem Erfinder Miura-Ori genannt, ist ein Spezialfall der Kokotsakis-Polyeder. Ein Kokotsakis-Polyeder besteht aus 9 Flächen, die kombinatorisch wie ein 3x3 Gebiet eines quadratischen Gitters aussehen. Mehrere Beispiele von flexiblen Kokotsakis-Polyedern wurden Anfang 1930-er Jahren gefunden. Eine komplette Klassifizierung wurde erst 2015 (veröffentlicht 2017) in einer Arbeit des Antragstellers erreicht.

Das Ziel dieses Projektes ist, die einzelnen beweglichen Beispiele näher zu untersuchen, insbesondere ihr räumliches Verhalten zu charakterisieren. Aus einzelnen beweglichen Kokotsakis-Polyedern kann man eine grössere von Vierecken gebildete bewegliche Fläche bauen. Die Aufbau und Eigenschaften solcher Flächen ist ein weiteres Forschungsziel.

Das Projekt wird in Zusammenarbeit mit Georg Nawratil und Hellmuth Stachel aus TU Wien und Wolfgang Schief aus University of New South Wales geführt, die wichtige Arbeit auf diesem Gebiet geleistet haben.

Direct link to Lay Summary Last update: 12.04.2018

Responsible applicant and co-applicants

Employees

Project partner

Abstract

Polyhedra are mathematical abstractions of plate-and-hinge structures. Flexibility of polyhedra has been studied by mathematicians and engineers for at least two centuries. This project is devoted to a particular class of polyhedra, introduced by Kokotsakis in 1933. Several classes of flexible Kokotsakis polyhedra were found, but a complete classification was achieved only recently by the applicant (preprint 2015, published in 2017). In this article, complex analysis was used: elliptic curves and branched covers between Riemann surfaces. The resulting description of flexible types is rather abstract and given only in terms of the planar angles, which does not allow to determine the shape of the polyhedron directly. One of the aims of this project is to conduct a deeper analysis of the flexible types that will allow to predict their spatial shape and also to solve inverse problems: construction of flexible polyhedra with prescribed boundary data and kinematic behaviour. Besides resolving these theoretical questions, we plan to write an interactive software allowing to visualize flexible polyhedra and modify their shape through the input parameters.Flexible polyhedra have many applications in the industry, including the arrays of solar panels arranged according to the Miura-fold, a special case of Kokotsakis polyhedra. We hope that our findings can be useful for development of further applications. The research on the practical aspects will be conducted jointly with Georg Nawratil and Hellmuth Stachel from TU Wien, and we plan to consult the research groups at the engineering departments of EPFL and ETH Zurich. Kokotsakis polyhedra are fragments of quad-surfaces, a central object in the new field of discrete differential geometry. Some decades ago, connections between flexible quad-surfaces and discrete integrable systems were discovered. We plan to further study these connections in collaboration with the project partner Wolfgang Schief (University ofNew South Wales, Sydney).Besides theoretical and possible industrial impact, we expect a great didactic output from this project. Models of flexible polyhedra can be used at public lectures and exhibitions as illustrations of the interaction between mathematics and engineering. Also, the whole story of Kokotsakis polyhedra demonstrates that deep mathematical theories are necessary for resolution of seemingly simple geometric problems.
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