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Linearization, Poisson structures and Quantization

Applicant Alekseev Anton
Number 178794
Funding scheme Project funding (Div. I-III)
Research institution Université de Genève Institut des sciences de l'environnement
Institution of higher education University of Geneva - GE
Main discipline Mathematics
Start/End 01.04.2018 - 31.03.2022
Approved amount 1'102'155.00
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All Disciplines (2)

Discipline
Mathematics
Theoretical Physics

Keywords (7)

Poisson geometry; Quantization of moduli spaces; Lie theory; Kashiwara-Vergne problem; Poisson-Lie groups; Drinfeld associators; Goldman-Turaev Lie bialgebra

Lay Summary (French)

Lead
La notion de symétrie possède une grande importance en mathématiques et en physique. Dans ces disciplines, il existe des symétries manifestes (par exemple, la symétrie d’une sphère par rapport aux rotation autour de son centre) et des symétries cachées (telle que la symétrie de jauge dans des modèles des particules élémentaires). En particulier, il existe une symétrie mystérieuse, dite de Grothendieck-Teichmüller, qui est présente dans plusieursdomaines des mathématiques et de la physique théorique. Elle apparaît notamment en théorie des noeuds, en théorie des certaines séries infinies (des nombres poly-zêta), en théorie de Lie (qui étudie des lois de multiplication), en topologie en dimension deux (qui étudie des intersections des courbes dons le plan), et en théorie des graphes de Feynman en physique théorique.
Lay summary
La symétrie de Grothendieck-Teilchmüller est un des sujet principaux de ce projet de recherche. Nous aimerions entre autres mieux comprendre pourquoi cette symétrie apparaît dans des domaines différents des mathématiques et trouver des nouveaux domaines où elle peut être utilisée. Nous aimerions également établir un lien entre la dualité (autre nom pour la symétrie) de Lie-Poisson et la dualité de Langlands dans la théorie de Lie. Comme application en physique, nous aimerions construire de nouvelles observables dans la théorie de jauge et comprendre leur importance dans des modèles physiques.

Les résultats de ce projet vont approfondir notre connaissance des symétries en mathématiques. Ils vont également donner des nouvelles informations sur l’applications de cette notion en physique.
Direct link to Lay Summary Last update: 09.04.2018

Responsible applicant and co-applicants

Employees

Associated projects

Number Title Start Funding scheme
165666 Lie theory, associators and Topological Quantum Field Theory 01.04.2016 Project funding (Div. I-III)
182767 Star-products, Drinfeld twists and Rankin-Cohen brackets 01.01.2019 Project funding (Div. I-III)
159581 Algèbre, Analyse, Géométrie et Physique 01.10.2015 Project funding (Div. I-III)

Abstract

This project is at the crossroads of Lie theory, Poisson geometry and mathematical physics. Three main topics will be addressed within the project: linearization and formality including the Kashiwara-Vergne problem, Poisson geometry with the focus on Poisson-Lie groups, tropicalization and completely integrable systems, and quantization with moduli spaces of flat connections as a prime example, and applications of the diagrammatic calculus to the study of flat connections in 2-dimensional gauge theories.The project addresses various questions which range from relatively easy (and more realistic) ones to more difficult and more ambitious ones. The following problems/themes are of importance within the project:1) To describe new Batalin-Vilkovisky structures on moduli spaces of flat connections.2) To define and study Poisson-Lie groups with potential.3) To establish a link between the Poisson-Lie duality and the Langlands duality.4) To show that formality of Goldman-Turaev Lie bilagebras lifts to the level of Hopf algebras.5) To find a universal cocycle defining the Grothendieck-Teichmueller Lie algebra and use it to prove the conjecture grt=krv.These topics are based on my previous research on group valued moment maps, on the Kashiwara-Vergne Conjecture and on Goldman-Turaev Lie bialgebras, and they develop it in various directions. Achieving each of the goals stated above would have significant impact.The project is built around the activity of my research group at the University of Geneva. It includes funding for 2-3 graduate students (depending on the year of the project) and 1 postdoc. The project relies on a close collaboration with several research groups in Switzerland and abroad including the ones of A. Berenstein (Oregon), B. Enriquez (Strasbourg), P. Mnev (Notre Dame), L. Scneps (Paris), T. Schedler (Imperial College) and T. Willwacher (ETHZ). It includes funding for participation of collaborators in conferences and workshops to present the results of the project and to acquire new skills.
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