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Discrete curvature and rigidity

Applicant Izmestiev Ivan
Number 169391
Funding scheme Project funding (Div. I-III)
Research institution Département de Mathématiques Université de Fribourg
Institution of higher education University of Fribourg - FR
Main discipline Mathematics
Start/End 01.10.2016 - 31.08.2020
Approved amount 189'730.55
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Keywords (3)

discrete Hilbert-Einstein functional; hyperbolic cone-manifold; rigidity

Lay Summary (German)

Lead
Das Hilbert-Einstein Funktional wurde Anfang 20. Jahrhundert zum Zweck der mathematischen Begründung der allgemeinen Relativitätstheorie erfunden. 1960 hat der Physiker Tullio Regge eine diskrete Version gefunden, wo die Krümmung nicht mehr stetig aufgeteilt, sondern auf den Kanten und Ecken konzentriert wird. Die diskreten Analoga von Krümmungen haben viele praktische Anwendungen.
Lay summary
Das Regge-Funktional wurde bisher nur wenig untersucht. Insbesondere, ist das Begriff einer diskreten Einstein-Mannigfaltigkeit noch nicht festgelegt worden. Es ist eine unserer Ziele, einen solchen Begriff zu finden und zu begründen. Außerdem gibt es enge Beziehungen zwischen den Einstein-Mannigfaltigkeiten und der Thurstonschen (2003 durch Perelman bewiesenen) Geometrisierungsvermutung. Eine verwandte, noch nicht bewiesene Vermutung von Thurston ist die sogenannte Pleating Lamination Conjecture. Eine unserer wichtigsten Ziele ist es, diese Vermutung zu beweisen.
 
Unsere Forschung soll die Zusammenhänge zwischen der diskreten und der Differentialgeometrie verstärken, in der Zeit, wo einzelne Gebiete der Mathematik sich mehr und mehr spezialisieren. Es sollen neue Techniken gefunden werden, die die Methoden beider Geometriezweigen vereinigen.
Direct link to Lay Summary Last update: 29.09.2016

Responsible applicant and co-applicants

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Name Institute

Abstract

Discrete analogs of curvature notions have their roots in the 19th century, in the works of Steiner, Schläfli, and Minkowski. Nowadays discretization of smooth structures plays an important role in numerical analysis and computer graphics.Einstein manifolds are the critical points of the Hilbert-Einstein functional. In dimension 3, the Einstein manifolds have constant sectional curvature, which provides a variational approach to geometrization. A still unsolved geometrization problem is Thurston's Pleating Lamination Conjecture. We plan to approach it through the polyhedral approximation with stability estimates on the rigidity of hyperbolic cone-manifolds.
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