Projekt

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Volume and arithmetic of hyperbolic lattices

Titel Englisch Volume and arithmetic of hyperbolic lattices
Gesuchsteller/in Emery Vincent
Nummer 157583
Förderungsinstrument SNF-Förderungsprofessuren
Forschungseinrichtung Mathematisches Institut Universität Bern
Hochschule Universität Bern – BE
Hauptdisziplin Mathematik
Beginn/Ende 01.06.2015 - 31.05.2019
Bewilligter Betrag 1'526'758.00
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Keywords (10)

hyperbolic manifolds; nonarithmetic lattices; arithmetic lattices; hyperbolic volume; quaternionic hyperbolic geometry; trace field; hyperbolic Coxeter groups; K-theory of number fields; higher regulators of number fields; reflection groups

Lay Summary (Französisch)

Lead
La notion de volume joue un rôle important dans l'étude des objets géométriques. En dehors de son importance quantitative (grandeur des objets), certains aspects qualitatifs sont également importants, et permettent des liens subtiles entre géométrie et théorie des nombres. Un exemple historique célèbre, le problème de la « quadrature du cercle » illustre ceci. Ainsi, l'impossibilité de résoudre ce problème a été prouvée comme conséquence de l'irrationalité du nombre pi. Cette preuve montre que le cercle et le carré sont deux objets géométriques fondamentalement différents, du moins dans le sens dans lequel l'entendaient les philosophes grecques.De nos jours, la recherche mathématique s'intéresse à d'autres types d'objets géométriques, souvent issus de de la physique. C'est notamment le cas des variétés hyperboliques, qui sont l'objet d'étude centrale dans ce projet. Plus spécifiquement, on s'intéresse à leurs volumes, en lien avec des méthodes de théorie des nombres.
Lay summary
Le volume des variétés hyperboliques en dimensions paires est partiellement compris à l'aide de la formule (généralisée) de Gauss-Bonnet, qui exprime le volume d'une variété comme un certain multiple (connu) de sa caractéristique d'Euler (qui est un nombre entier). Une telle formule n'existe pas en dimensions impaires, et le volume apparaît dans ce cas comme étant une notion bien plus délicate, mais également bien plus intéressante.

Le cas le plus étudié est la dimension n=3, pour lequel certains résultats sur le volume sont connus. En particulier, en exprimant chaque variété par un certain ensemble de matrices (son «·groupe fondamental·»), on sait que le type de coefficients des ces matrices joue un rôle assez précis pour les volumes qu'on peut obtenir. Ce projet de recherche permettra d'étendre ces résultats connus pour n=3 au cas des dimensions impaires n>3. On s'attend à pouvoir expliquer ainsi certaines différences structurelles entre le case n=3 et n>3.

À terme, cette recherche sur le volume devrait permettre de pouvoir distinguer plus facilement les variétés entre elles, et d'ainsi obtenir une meilleure idée de leur classification. Actuellement, cette classification dans le cas n>3 nous échappe largement.
Direktlink auf Lay Summary Letzte Aktualisierung: 13.05.2015

Verantw. Gesuchsteller/in und weitere Gesuchstellende

Mitarbeitende

Zusammenarbeit

Gruppe / Person Land
Formen der Zusammenarbeit
KIAS, Inkang Kim Korea, Republik (Südkorea) (Asien)
- vertiefter/weiterführender Austausch von Ansätzen, Methoden oder Resultaten
- Publikation
Mikhail Belolipetsky, IMPA Brasilien (Südamerika)
- vertiefter/weiterführender Austausch von Ansätzen, Methoden oder Resultaten
John Ratcliffe and Steven Tschantz, Vanderbilt University Vereinigte Staaten von Amerika (Nordamerika)
- vertiefter/weiterführender Austausch von Ansätzen, Methoden oder Resultaten
- Publikation
Jean Raimbault, Toulouse Frankreich (Europa)
- vertiefter/weiterführender Austausch von Ansätzen, Methoden oder Resultaten

Wissenschaftliche Veranstaltungen

Aktiver Beitrag

Titel Art des Beitrags Titel des Artikels oder Beitrages Datum Ort Beteiligte Personen
Geometric structures, hyperbolic geometry and related topics Vortrag im Rahmen einer Tagung On the volumes of hyperbolic lattices 15.05.2017 KIAS, Seoul, Korea, Republik (Südkorea) Emery Vincent;
Workshop "Growth 4" Vortrag im Rahmen einer Tagung Group homology and volumes of hyperbolic lattices 23.04.2017 Waseda University, Tokyo, Japan Emery Vincent;
Journées de Géométrie Hyperbolique Vortrag im Rahmen einer Tagung Quasi-arithmetic lattices and volumes of hyperbolic manifolds 23.03.2017 Fribourg, Schweiz Emery Vincent;
Journées de Géométrie Hyperbolique Vortrag im Rahmen einer Tagung On the trace field of hyperbolic manifolds 23.03.2017 Fribourg, Schweiz Mila Olivier;
Colloque Einzelvortrag Hyperbolic lattices, trace field, and volume. 21.03.2017 Neuchâtel, Schweiz Emery Vincent;
Séminaire GSD Einzelvortrag Volumes des réseaux quasi-arithmétiques hyperboliques 20.10.2016 Dijon, Frankreich Emery Vincent;
Topology and Analysis of Discrete Groups and Hyperbolic Spaces Vortrag im Rahmen einer Tagung Volumes of quasi-arithmetic lattices 20.06.2016 Kyoto, RIMS, Japan Emery Vincent;
Seminar Geometria Diferencial Einzelvortrag Quasi-arithmetic lattices acting on hyperbolic space 16.06.2016 IMPA, Rio, Brasilien Thomson Scott Andrew;
Séminaire de géométrie Einzelvortrag Le corps des traces 14.06.2016 Toulouse, Frankreich Mila Olivier;
Oberseminar Geometrie Einzelvortrag Volumes of quasi-arithmetic lattices 18.05.2016 Fribourg, Schweiz Emery Vincent;
Oberseminar Geometrie Einzelvortrag Commensurability and quasi-arithmeticity of lattices in PO(n,1) 07.10.2015 Fribourg, Schweiz Thomson Scott Andrew;
Second SwissMAP Geometry&Topology conference Poster Volumes of hyperbolic manifolds 22.06.2015 Les Diablerets, Schweiz Emery Vincent;


Verbundene Projekte

Nummer Titel Start Förderungsinstrument
148100 Volume of hyperbolic manifolds and K-theory of number fields 01.09.2013 Ambizione

Abstract

This research concerns the study of lattices (discrete subgroups of finite covolume) in simple Lie groups G, and more particularly lattices in the Lie group G = PO(n,1) with n > 3. This group appears as the isometry group of the hyperbolic n-space, and the study of lattices in PO(n,1) is thus strongly related to hyperbolic geometry. Number theory plays an important role for constructing a large class of lattices, called arithmetic lattices. In turn, the geometric study of these lattices has application to number theory.Several algebraic tools permit a good classification of arithmetic lattices, and a good understanding of many of their properties. In particular, their covolumes are quite well understood. In this project we propose to use this knowledge of the volume as a starting point to study different questions pertaining the description of hyperbolic lattices. The main goals can be roughly stated as follows:- Elaborate a theory that explains the behavior of the volume for lattices in PO(n,1) that are not necessarily arithmetic.- Use arithmetic lattices of minimal covolume as a guide to construct new examples of hyperbolic Coxeter groups. - Study the volume in the context of quaternionic hyperbolic geometry.This research includes two PhD projects.
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