Projekt

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Generalized Barycentric Interpolation

Gesuchsteller/in Hormann Kai
Nummer 150053
Förderungsinstrument Projektförderung (Abt. I-III)
Forschungseinrichtung Facoltà di scienze informatiche Università della Svizzera italiana
Hochschule Università della Svizzera italiana – USI
Hauptdisziplin Informatik
Beginn/Ende 01.02.2014 - 30.04.2017
Bewilligter Betrag 161'900.00
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Alle Disziplinen (2)

Disziplin
Informatik
Mathematik

Keywords (4)

image warping; shape deformation; approximation; barycentric coordinates

Lay Summary (Deutsch)

Lead
Mit hilfe baryzentrischer Koordinaten lässt sich jeder Punkt innerhalb eines Dreiecks als eindeutige Konvexkombination der Eckpunkte des Dreiecks beschreiben. Dies ermöglicht eine effiziente lineare Interpolation von Daten, die an den Eckpunkten gegeben sind und wird daher in der Computergrafik und vielen anderen Bereichen benutzt. In einigen Anwendungen braucht man aber eine baryzentrische Beschreibung des Punktes bezüglich eines beliebigen Polygons mit mehr als drei Eckpunkten.
Lay summary

Inhalt und Ziel des Forschungsprojekts

Die Interpolation von Daten mit kontinuierlichen und differenzierbaren Funktionen ist für viele Gebiete der Informatik, aber auch in den Ingenieurwissenschaften von fundamentaler Bedeutung. In dem gleichen Maße, in dem Lagrange-Basis-Polynome eine effiziente Interpolation univariater Daten ermöglichen, können bi- und multivariate Daten direkt mit Hilfe verallgemeinerter baryzentrischer Koordinaten interpoliert werden, ohne daß zuvor ein Interpolationsproblem gelöst werden muß. In diesem Projekt werden wir die theoretischen Grundlagen für solche Koordinaten und die zugehörigen Interpolationsoperatoren weiter entwickeln und neue Methoden mit bislang nicht verfügbaren Eigenschaften erforschen.

Wissenschaftlicher und gesellschaftlicher Kontext des Forschungsprojekts

Auf wissenschaftlicher Seite ist dieses Projekt in dem Bereich der Grundlagenforschung einzuordnen, da wir neue grundlegende Erkenntnisse im Bereich baryzentrischer Koordinaten gewinnen wollen, die zu einem besseren Verständnis dieses noch recht jungen Forschungsgebiets führen sollen. Trotzdem werden wir auch die Anwendungen nicht aus den Augen lassen und insbesondere die Verwendung der neuen theoretischen Erkenntnisse für die Verformung von Bildern ("image warping") und 3D-Modellen ("shape deformation") berücksichtigen.

Direktlink auf Lay Summary Letzte Aktualisierung: 05.12.2013

Verantw. Gesuchsteller/in und weitere Gesuchstellende

Mitarbeitende

Publikationen

Publikation
Convergence rates of derivatives of Floater–Hormann interpolants for well-spaced nodes
Cirillo Emiliano, Hormann Kai, Sidon Jean (2017), Convergence rates of derivatives of Floater–Hormann interpolants for well-spaced nodes, in Applied Numerical Mathematics, 116, 108-118.
Discretizing Wachspress kernels is safe
Hormann Kai, Kosinka Jiří (2017), Discretizing Wachspress kernels is safe, in Computer Aided Geometric Design, 52-53, 126-134.
Subdividing barycentric coordinates
Anisimov Dmitry, Deng Chongyang, Hormann Kai (2016), Subdividing barycentric coordinates, in Computer Aided Geometric Design, 43, 172-185.
On the approximation order of triangular Shepard interpolation
Dell'Accio Francesco, Di Tommaso Filomena, Hormann Kai (2015), On the approximation order of triangular Shepard interpolation, in IMA Journal of Numerical Analysis, 36(1), 359-379.

Zusammenarbeit

Gruppe / Person Land
Formen der Zusammenarbeit
Jirí Kosinka Niederlande (Europa)
- vertiefter/weiterführender Austausch von Ansätzen, Methoden oder Resultaten
- Publikation
Francesco Dell'Accio Italien (Europa)
- vertiefter/weiterführender Austausch von Ansätzen, Methoden oder Resultaten
- Publikation
Chongyang Deng China (Asien)
- vertiefter/weiterführender Austausch von Ansätzen, Methoden oder Resultaten
- Publikation

Wissenschaftliche Veranstaltungen

Aktiver Beitrag

Titel Art des Beitrags Titel des Artikels oder Beitrages Datum Ort Beteiligte Personen
11th International Conference on Geometric Modeling and Processing Vortrag im Rahmen einer Tagung Discretizing Wachspress kernels is safe 17.04.2017 Xiamen, China Hormann Kai;
IM-Workshop 2017 on Signals, Images, and Approximation Vortrag im Rahmen einer Tagung An iterative approach to barycentric rational Hermite interpolation 27.02.2017 Bernried, Deutschland Cirillo Emiliano;
21st International Symposium on Vision, Modeling and Visualization Vortrag im Rahmen einer Tagung Generalized Barycentric Coordinates 10.10.2016 Bayreuth, Deutschland Hormann Kai;
15th International Conference on Approximation Theory Vortrag im Rahmen einer Tagung Convergence rates of derivatives of Floater–Hormann interpolants for well-spaced nodes 22.05.2016 San Antonio, Vereinigte Staaten von Amerika Cirillo Emiliano;


Auszeichnungen

Titel Jahr
Best paper award (GMP 2017) 2017

Verbundene Projekte

Nummer Titel Start Förderungsinstrument
140583 Geometry-Aware FEM in Computational Mechanics 01.09.2012 Projektförderung (Abt. I-III)

Abstract

Interpolating data with functions is fundamental to many fields and applications in computer science, mathematics, and engineering. Barycentric coordinates, introduced by Möbius in 1827, provide a very convenient way to linearly interpolate data given at the vertices of a d-dimensional simplex. This kind of barycentric interpolation is widely used in computer graphics for interpolating vertex attributes such as colour, normals, or texture coordinates over the individual triangles of a triangle mesh, but it also plays a key role in other disciplines. For example, in the finite element method, the related piecewise linear, cardinal basis functions over planar triangulations can be adopted as trial and test approximations. Starting with the seminal work of Wachspress in 1975, the idea of barycentric coordinates and barycentric interpolation have been extended in recent years to arbitrary polygons in the plane, general polytopes in higher dimensions, and smooth domains, which in turn has led to novel solutions in graphics applications (e.g., mesh parameterization, image warping, and mesh deformation) and in mechanics (e.g., fracture and topology optimization).The aim of this project is to further develop the theoretical foundations of generalized barycentric interpolation and to provide a better understanding of the underlying principles. We plan to attack several open problems, to investigate novel interesting research questions, and to considerably advance the state-of-the-art in this field. We expect our results to also have an impact on related applications and to possibly lead to new scenarios where barycentric interpolation can provide elegant and favourable solutions.In particular, we will address the following four problems: First, we will explore the possibility of deriving generalized barycentric coordinates which are smooth, positive at every point inside an arbitrary polygon, and have a simple closed-form expression. So far, none of the known constructions have all properties. Second, we will consider the problem of transfinite barycentric interpolation and investigate the particular case where the data is given along the limit curve of a linear subdivision scheme. We expect that the local and recursive nature of the subdivision scheme leads to efficient algorithms for evaluating the resulting transfinite interpolant, which outperform state-of-the-art methods that rely on numerical integration. Third, we will extend our work on complex barycentric mappings and develop strategies for guaranteeing the bijectivity of these mappings. This is important in the context of image warping and shape deformation and can be achieved with current methods only for some special cases that are too restrictive for real-world applications. Finally, we will study a novel idea for interpolating scattered data with bivariate functions. Our approach is motivated by our results on univariate rational barycentric interpolation and can be seen as a generalization of Shepherd's interpolation method.
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