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Groupes discrets, variétés riemanniennes, et géométrie métrique

Titel Englisch Discrete groups, Riemannian manifolds, and metric geometry
Gesuchsteller/in Valette Alain
Nummer 149261
Förderungsinstrument Projektförderung (Abt. I-III)
Forschungseinrichtung Institut de mathématiques Université de Neuchâtel
Hochschule Universität Neuenburg - NE
Hauptdisziplin Mathematik
Beginn/Ende 01.10.2013 - 30.09.2015
Bewilligter Betrag 622'484.00
Alle Daten anzeigen

Keywords (12)

Coarse embeddings; $L^p$- equivariant compression; Box spaces; Uniformly bounded representations; Upper bound on the spectrum; Reduced 1-cohomology; Weighted manifolds; Laplace-type operators; Metric-measure spaces; Spectral theory on Riemannian manifolds; Affine isometric actions; Extremal metrics

Lay Summary (Französisch)

Lead
Groupes discrets, variétés riemanniennes, et géométrie métrique
Lay summary

Cette recherche est la réunion de deux sous-projets.

Le premier projet (Valette), concerne les actions isométriques de groupes sur des espaces de Banach, ainsi que les plongements métriques. Il y aura 4 directions:

1) Etude de la compression équivariante, qui quantifie les plongements équivariants d'un groupe dans un Banach (calculs exacts, comportement sous des constructions de groupes, propriétés d'invariance).

2) 1-cohomologie des représentations uniformément bornées sur un espace de Hilbert.

3) Relations entre plongements grossiers des "box spaces" associés à un groupe résiduellement fini, et la propriété de Haagerup pour ces groupes.

4) Propriétés de groupes discrets pouvant se définir par des coefficients de représentations et des idéaux dans l'algèbre des fonctions bornées sur le groupe.

Le second projet (Colbois) concerne la théorie spectrale des variétés riemanniennes et la géométrie métrique, plus précisément l'étude de métriques extrémales et de bornes pour le spectre du laplacien. Un objectif général est de prendre une approche métrique au problème et de travailler dans la catégorie des espaces métriques mesurés. Un des buts est d'obtenir des bornes supérieures géométriques pour le spectre de variétés à poids. Un autre est le contrôle du spectre en liaison avec la distance de Gromov-Hausdorff, ainsi que le contrôle du spectre d'une sous-variété en fonction de sa distortion. Un troisième est l'étude de l'opérateur de Steklov pour des surfaces hyperboliques à bord géodésique. Ceci est relié aux précédentes requêtes FNS portant sur l'usage de l'analyse numérique pour étudier des domaines extrémaux pour le spectre du laplacien.

 

 

Direktlink auf Lay Summary Letzte Aktualisierung: 28.09.2013

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Publikationen

Publikation
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B. Colbois A. El Soufi (2014), Extremal eigenvalues of the Laplacian on Euclidean domains and closed surfaces,, in Math. Zeitschrift, 278(1-2), 529-546.
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- vertiefter/weiterführender Austausch von Ansätzen, Methoden oder Resultaten
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- Publikation
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- Publikation
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Université de Paris-Sud (Orsay) Frankreich (Europa)
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Université de Tours Frankreich (Europa)
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- vertiefter/weiterführender Austausch von Ansätzen, Methoden oder Resultaten
- Publikation

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Selber organisiert

Titel Datum Ort
Expanders everywhere 01.12.2014 UniNE, Schweiz

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Abstract

This proposal consists, as usual, of two sub-projects.Project A (Valette): Affine isometric actions on $L^p$-spaces, and metric embeddings. The project will mainly deal with affine actions of groups on Hilbert and $L^p$-spaces. The main directions of research will be:1) Equivariant $L^p$-compression, that quantifies equivariant embeddings of a group into $L^p$ (exact computations, behaviour under group constructions, invariance properties).2) Unreduced and reduced 1-cohomology of unitary and uniformly bounded representations on Hilbert spaces; in particular study of the class of groups admitting a representation with non-zero 1-cohomology but vanishing reduced 1-cohomology.3) Relations between coarse embeddings of box spaces of residually finite groups, and the Haagerup property for these groups.4) Group properties of a discrete group, that can be defined through coefficients of representations and ideals in the algebra of bounded functions: new examples, and possible connection with exactness.The first two directions are heavily related to the theses of the two PhD students, P.-N. Jolissaint and T. Pillon, hired on the project.Project B (Colbois): Spectral theory on Riemannian manifolds and metric geometry. The main topic of this proposal is spectral theory on Riemannian manifoldsand metric geometry, and more precisely the study of extremal metrics and of (upper) bounds for the spectrum of the Laplacian. A general objective is to choose a metric approach to the problem and work if possible in the context (or at least in the spirit) of metric measure spaces. The main direction of research concerns the Laplacian on weighted manifolds. It corresponds to the continuation of ongoing projects with A. El Soufi and A. Savo. The goal is to obtain some geometric upper bounds for the spectrum of weighted manifolds together with a study of the optimality of these bounds. The use of methods coming from mm-spaces will be developed with Z. Sinaei, for whom I am applying for a fellowship. Still in this direction, but with a more metric flavor, there is a project with P. Cerocchi, for whom I am apply for a fellowship, going around the control of the spectrum in relation with the Gromov-Hausdorff distance and a project around the control of the spectrum of submanifolds in relation with their distortion.With Alexandre Girouard we will study the Steklov operator for compact hyperbolic surfaces with geodesic boundary.The last project is related the PhD thesis of A. Berger, for whom I am applying for a fellowship. It is the continuation of a general project about the use of numeric analysis in order to investigate the extremal domains for the spectrum of the Laplacian.
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